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希尔伯特关于直线a和直线上的两点A

科技新闻 2019-03-19 01:5191未知admin

  点称为直线几何的元素,点和直线称为平面几何的元素,点、直线和平面称为立体几何的元素

  线段AB与CD相等:AB=CD(原书是用≡号的,不过对于我们不常见,所以我用了=号)

  在希尔伯特几何里面,其实点直线和平面是三个未定义的数学对象,在上面给的最基本的关系也是没有定义的,也就是说用什么来代表这些东西都是可以的,正如希尔伯特所说“我们必定可以用‘桌子、椅子、啤酒杯’来代替‘点、线、面’”。最简单的例子就是解析几何:我们定义点是实数对(x,y),定义线是{(x,y)Ax+By+C=0},其实在这个定义下,“几何”已经失去了“直观”的形式了,因为在这个定义下的几何图形就变成了毫无几何直观的数字了,只是我们方便研究又将它画在了坐标系中而已。

  我这里的关系符号∈,⊂,=并不来自于集合论,不要混淆,要再强调的是他们本身没有含义,我只是借用过来化简论述罢了。

  总之,希尔伯特几何,就是将直观地几何语言(欧氏几何)抽象成了逻辑语言,我们所有的几何定理都可以用逻辑推理得到。(其实希尔伯特几何就是完备化的欧氏几何)

  本组公理有八条,是前面所提的点,直线,平面这三组对象之间建立的一种联系:(为了方便论述,以后说二、三……点的,直线或平面是,都是指不同的点,直线:对于两点A和B,恒有一直线a,使得A,B∈a(存在性);

  (对于1,2,我们可以说两点确定一直线:一直线上至少有两点,至少有三点不在同一直线:对于不在同一直线的三点A,B和C,恒有一平面α,使得A,B,C∈α;(存在性)对于任一平面α,恒有一点A,使得A∈α;

  I5:对于不在同一直线的三点A,B和C,至多有一平面α,使得A,B,C∈α;(唯一性)

  其实我想用形式语言写出来的,但是实在书上的太难翻译,而且符号难打,所以放弃了。

  本组公理有四条,规定了“在……之间”这个关系。根据这个概念,直线上的,平面上的,空间上的点才有顺序可言。

  II1:对于点A,B,C,如果B∈AC,则点A,B,C是直线上不同的三点;这时,B∈CA也成立;(如图)

  对于直线a和直线上的两点A,B;我们把这一点对{A,B}称为线段,用AB或BA表示。在A和B之间的点叫做线段AB的点;A点和B点叫做线段AB的端点。

  II4:设A,B,C是不在同一个平面的三点:对于在平面ABC且不经过点A,B,C的直线a,若a交于线段AB的一点,则它必定交于线段AC或CB的一点(如图)

  III1:对于线段AB和一点A,恒有一点B,使得线段AB与线段AB相等,记为AB=AB因为线段与端点的次序无关,所以一下四个等式的意义相同:

  (根据1,2,我们才能得到线段AB与自己相等,才能得到AB=AB与A^ B^=AB等价,这并不是不证自明的事实,有了这个我们才能说两线段“互相相等”。总而言之根据1,2我们才能得到线段相等的“反身性”,“对称性”,和“传递性”,这才说明这是一个等价关系。)

  III3:线段AB,BC在同一直线a上,且无公共点;线段AB,BC在同一直线a上,且也无公共点。如果AB=AB 且BC=BC,则AC=AC

  这条公理还要求线段能够相加,可以定义AB+BC=AC(其中A,B,C共线)

  对于不同一直线的三点O,A,B,射线OA,和射线OB的全体我们称为角,记为∠AOB。O称为∠AOB的顶点,射线OA,和射线OB称为∠AOB的边。

  III4:对于∠AOB,和一条射线OA,在射线OA所在的一个平面内,有且只有一条射线OB,使得∠AOB与∠AOB相等,记为∠AOB=∠AOB。而且有∠AOB=∠BOA。

  这条公理可以理解为三角形全等(SAS),事实上SAS这个公理的直接推论。

  先定义平行:对于同一平面上的两条直线线a和b,a与b无公共点,则称a与b平行,记为a∥b.

  IV(欧几里得平行公理):设a是任意一条直线,A是a外的任意一点,在a和A所决定的平面上,至多有一条直线b,使得A∈b且a∥b。

  V1(阿基米德原理):对于线段AB,CD,则必定存在一个数n,使得沿着射线AB,自A作首尾相连的n个线段CD,必将越过B点。

  在这里必须说下数的阿基米德原理:任意给定两个正数a,b,必存在正整数n,使nabV2(直线完备公理):将直线截成两段a,b(不是直线),对于任意的A∈a,B∈b,则总存在一个点C,C∈AB。

  也就是说,不再存在一点不在直线上,把这点添加到直线上之后,仍满足前面的公理I~IV的

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